Introduction
Vamos a comenzar un poco con algo historia de la matemática conociendo el origen de nuestro código numérico que utilizamos en la actualidad. Luego se va a definir no tan formalmente el conjunto de los números naturales seguido de las operaciones más básicas creadas por el hombre y las propiedades que lo rigen ejemplificando cada uno.
Más adelante vamos a conocer ese legado que nos dejó la civilización Hindú en cuanto al valor posicional de los números, es decir, como interpretar el valor de cada dígito según su posición. Como estrategia didáctica se ofrece una tabla de valores donde se puede apreciar líneas verticales con colores que asemeja el significado de los puntos que se suele escribir cada tres (3) dígitos.
En la tercera parte se da respuesta a algo muy curioso que se suele enseñar en muchas instituciones educativas cuando adicionamos y decimos por ejemplo “llevo 3” pero muchos aún no saben la respuesta a ese ¿Por qué?
Task
En tiempos muy antiguos nuestro lenguaje no se encontraba tan desarrollado como en la actualidad, el hombre se comunicaba mediante gestos, sonidos o figuras. Para transmitir sus ideas muchos lo hacían por pictogramas como por ejemplo la civilización Babilónica quienes utilizaban tablas de arcilla. (fig. 1)
La necesidad de saber que tantas ovejas, cabezas de ganado poseían en comparación a otros ya sea para el trueque o repartición de bienes los llevo a idear un sistema de conteo para suplir ese problema. Desde aquí comienza el descubrimiento y evolución de un sistema abstracto que muchos años más adelante los llevaría al mundo de la matemática.
Cerca del año 570 a.C los hindúes crearon un sistema de numeración posicional que dominaría la forma de escribir cantidades en el resto del mundo utilizando únicamente diez signos que hoy día aún se utiliza (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Este sistema de numeración fue trasmitido y esparcido por los árabes en toda Europa. De allí el llamado sistema de numeración indo-arábigo.
El principal uso estos números que utilizamos en nuestra vida cotidiana es tanto para contar cuantos elementos hay en un determinado sistema así como también para dar un orden a la hora de clasificar.
Se define al conjunto de los números naturales:
N = {0, 1, 2, 3, 4,. . .} (De ahora en adelante se va a representar a lo largo de este texto a este conjunto como N)
NOTA: Hay muchos autores que toman a N sin el cero y otros con el cero. En este texto lo vamos a incluir.
SUBCONJUNTO DE N
Se encuentra N * ó N +que viene siendo:
N + = {1, 2, 3, 4,. . .} se excluye el cero
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES
Operaciones en N con sus propiedades:
- Adición:
- Existe un elemento neutro llamado cero ( 0 )
Ejemplo: 4 + 0 = 4
-
- Es asociativa.
Ejemplo: (5 + 9) + 4 = 5 + (9 + 4)
14 + 4 = 5 + 13
18 = 18
-
- Es conmutativa.
Ejemplo: 3 + 5 = 5 + 3
8 = 8
- Producto:
- Existe un elemento neutro llamado uno ( 1 )
Ejemplo: 7 . 1 = 7
-
- Es asociativa.
Ejemplo: (2 . 3) . 5 = 2 . (3 . 5)
6 . 5 = 2 . 15
30 = 30
-
- Es conmutativa.
Ejemplo: 9 . 5 = 5 . 9
45 = 45
- Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición:
Ejemplo: 4 ( 3 + 5 ) = 4 . 3 + 4 . 5
- Distributividad de la adición con respecto a la multiplicación:
Ejemplo: ( 8 + 7 ) 6 = 8 . 6 + 7 .
IMPORTANTE: Únicamente (1) y (2) son operaciones mientras que el resto de lo enunciado son propiedades. (3) y (4) es una combinación de la adición con el producto.
Pero. . .
¿Qué sucede con la sustracción y la división en el conjunto de los números naturales?
Veamos unos simples ejemplos:
Sustracción: Si intentamos resolver 20 – 30 no podemos conseguir una respuesta numérica en el conjunto de los números naturales por lo tanto no podemos generalizar que siempre tendremos una respuesta para la sustracción.
División: Si intentamos resolver 50 entre 20 no podemos conseguir una respuesta numérica en el conjunto de los números naturales por lo tanto no podemos generalizar que siempre tendremos una respuesta para la división.
En conclusión se puede deducir que bajo el conjunto de los números naturales la sustracción y la división no son cerradas, es decir, no siempre tendremos un número natural como resultado de la operación.
Los números naturales lo representamos con una semi-recta que por lo general se lee de izquierda a derecha por comodidad debido a la dirección en que leemos:
0 1 2 3 4 5
¿Por qué no leerlo también de esta forma? (Piensa la respuesta)
5 4 3 2 1 0
Process
Podemos adicionar números de muchas formas aquí se presenta al menos dos formas posibles:
Horizontalmente:
2.356 + 4.534 = 6.890
Verticalmente:
2.356
+ 4.534
6.890
Nota: Se da como visto que el lector ya sabe adicionar números de cursos anteriores. Lo curioso en este ejemplo es lo siguiente:
¿Por qué se suele decir 6 + 4 = 10 escribo 0 y llevo 1?
Veamos: La respuesta podemos encontrarlo en la tabla de valor posicional ya estudiado en la página 12. Repasemos con este caso:
2.356 = 2.000 + 300 + 50 + 6
Tenemos 6 unidades, 5 decenas, 3 centenas y 2 unidades de mil.
4.534 = 4.000 + 500 + 30 + 4
Tenemos 4 unidades, 3 decenas, 5 centenas y 4 unidades de mil.
Adicionamos las unidades de ambas cifras: 6 unidades + 4 unidades = 10 unidades. Pero cada diez (10) unidades es una decena.
=
Quiere decir que las diez unidades pasan a ser una sola decena y no queda valor alguno en la posición de la unidad por lo que se escribe un cero (0) y esa decena es lo que solemos decir coloquialmente “llevo 1”
Similarmente lo mismo ocurre con acumular diez veces una decena que pasaría a ser una centena o acumular diez veces una centena que pasaría a ser una unidad de mil.
En cuanto a las partes de una adición tenemos que en el ejemplo anterior sería:
2.356 Sumando
+ 4.534 Sumando
6.890 Suma
Importante: El resultado es la suma mientras que la operación a realizar es una adición. Muchas veces abusamos del lenguaje refiriéndonos a la operación como una suma.
PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES
El producto o multiplicación de números naturales es simplemente una simplificación de la adición. Veamos:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 . 7 = 21 (7 veces el número 3)
7 veces
Que por propiedad conmutativa en el producto también se puede ver así:
7 + 7 + 7 = 7 . 3 = 21 (3 veces el número 7)
3 veces
Partes de una multiplicación:
34 Factor
x 25 Factor
170
+ 68_
850 Producto
De aquí proviene la famosa frase “El orden de los factores no altera el producto”, esto se debe a la combinación de las partes de la multiplicación con la propiedad conmutativa que vimos anteriormente, es decir, que 34 . 25 = 25 . 34
Aquí se presenta una tabla de multiplicar pero de forma resumida:
|
2.1=2 |
3.1=3 |
4.1=4 |
5.1=5 |
6.1=6 |
7.1=7 |
8.1=8 |
9.1=9 |
|
2.2=4 |
3.3=9 |
4.4=16 |
5.5=25 |
6.6=36 |
7.7=49 |
8.8=64 |
9.9=81 |
|
2.3=6 |
3.4=12 |
4.5=20 |
5.6=30 |
6.7=42 |
7.8=56 |
8.9=72 |
|
|
2.4=8 |
3.5=15 |
4.6=24 |
5.7=35 |
6.8=48 |
7.9=63 |
|
|
|
2.5=10 |
3.6=18 |
4.7=28 |
5.8=40 |
6.9=54 |
|
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2.6=12 |
3.7=21 |
4.8=32 |
5.9=45 |
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2.7=14 |
3.8=24 |
4.9=36 |
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2.8=16 |
3.9=27 |
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2.9=18 |
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Analiza: ¿Por qué en la tabla anterior no se toma en cuenta ciertas operaciones como por ejemplo 3.2?
Signos de agrupación
Los signos utilizados para agrupar términos son: paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }. Se utiliza para indicar la jerarquía de las operaciones que se debe resolver en el mismo orden ya indicado.
Ejemplo: { [ ( 34 + 86 ) . 12 + 23 ] + 64 . 12 } + 10 =
{ [ 120 . 12 + 23 ] + 64 . 12 } + 10 =
{ [ 1.440 + 23 ] + 64 . 12 } + 10 =
{ 1.463 + 64 . 12 } + 10 =
{ 1.463 + 768 } + 10 =
{ 2.231 } + 10 =
2.241
Evaluation
- ¿Qué número natural es el antecesor del 54?
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- ¿Qué número natural es el sucesor del 3.682.843?
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- ¿Qué número natural se encuentra entre 5.654 y 5.656?
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- ¿Qué número natural se encuentra entre 2.345 y 2.346? Explica
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- ¿Cuál es el último número natural? Explica
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- ¿Cuál es el primer número natural?
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