LONGITUD DE ARCO

Introduction

INTRODUCCIÓN

 En este trabajo conoceremos mas en que consiste la longitud de arco o la rectificación de una curva, algo de su historia y de como surgio.

Task

 la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.

Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas. La llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Desde la época griega se intentaba equiparar las curvas en segmentos rectos de igual longitud, y mucho método proliferaron para calcularlos.

En el siglo XVII hasta se realizaban concursos para determinar la longitud de arco de curvas muy particulares, como las espirales introducidas por Arquímedes, la catenaria, o la cicloide, de especial atención para los matemáticos de mitad de siglo.

Aunque con los métodos geométricos consiguieron realizarlo, el gran avance aconteció con la llegada del cálculo diferencial. A partir de ese momento, rectificar una curva, o lo que hoy llamamos calcular la longitud de arco, pasó a resolverse mediante:

                                                                            

En algunas ocasiones en vez de conocer la longitud total de una circuferencia necesitamos saber solo una parte de ella, es decir, la longitud de un arco de circunferencia. Para determinarla hacemos uso de la siguiente fórmula:

                                                                                           s = r∙θ

Donde r es el radio y θ el ángulo en radianes.

FÓRMULA

La longitud del arco (s) en una circunferencia, conociendo el radio (r) y el ángulo (θ) que forman los dos radios, es:

                                                               s = r∙θ

Con el ángulo en radianes.

Ejemplo: hallar la longitud del arco de una circunferencia con radio r = 10 cm y ángulo central θ = 3,5 rad.

Aplicando la fórmula, tenemos:

                                                              s = r∙θ = (10 cm)(3,5 rad) = 35 cm

                                                              s = 35 cm

CUANDO EL ÁNGULO ESTÁ EN GRADOS

Considerando que un ángulo de 360° equivale a 2π radianes, entonces la longitud de un arco de circunferencia, cuando el ángulo está en grados es:

                                                              s = (2∙π∙r∙θ) / (360°)

 

longitud-de-arco-fórmula

L=Θ.R

Donde:

  • L: longitud de arco.
  • Θ: ángulo central (debe estar en radianes).
  • R: longitud del radio.

Con esa fórmula vamos a desarrollar todos los problemas de ese capítulo, el único detalle es que el ángulo siempre, siempre deberá estar en radianes para poder aplicar la fórmula.

No olvides que si queremos calcular la longitud de la circunferencia, tendríamos como ángulo central a 2π.

L = Θ . R

L= 2π . R

Process

Ejemplo: Hallar la longitud del arco de una circunferencia con radio r = 20 cm y ángulo central θ = 60°.

Aplicando la fórmula, tenemos:

s = (2∙π∙r∙θ) / (360°) = [2π(20 cm)(60°)] / 360 = 7539,82 cm / 360

s = 20,94 cm

Al considerar una curva definida por una función {\displaystyle f\left(x\right)} y su respectiva derivada {\displaystyle f'\left(x\right)} que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

{\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[f'\left(x\right)\right]^{2}}}\,dx}

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como{\displaystyle x=f\left(t\right)} {\displaystyle y=g\left(t\right)}, la longitud del arco desde el punto {\displaystyle (f(a),g(a))\,} hasta el punto{\displaystyle (f(b),g(b))\,} se calcula mediante:

{\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[f'\left(t\right)\right]^{2}+\left[g'\left(t\right)\right]^{2}}}\,dt}

Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante {\displaystyle r=f(\theta )\,}, la longitud del arco comprendido en el intervalo {\displaystyle [\alpha ,\beta ]\,}, toma la forma:

{\displaystyle s=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {[f(\theta )]^{2}+\left[f'(\theta )\right]^{2}}}\,d\theta \ }

En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie. Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.

Un caso un poco más general que el último, es el caso de coordenadas curvilíneas generales (e incluso el de espacios no euclídeos) caracterizadas por un tensor métrico {\displaystyle g_{ik}} donde la longitud de una curva {\displaystyle C:[a,b]\to M} viene dada por:

{\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,k}g_{ik}{\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dx^{k}}{dt}}}}\ dt}

Por ejemplo el caso de coordenadas polares se obtiene de este haciendo {\displaystyle x^{1}=r,x^{2}=\theta ;g_{11}=1,g_{22}=r^{2},g_{12}=g_{21}=0;r=f(\theta ),t=\theta }.

 

Evaluation

ACTIVIDAD DIDACTICA 

1)     Calcula la longitud de la circunferencia de radio    r .

2)     Hallar la longitud del arco de la curva    9 y2 = 4 x3    comprendido entre los puntos de la curva de abscisa    x = 0    y    x = 3

 

3)     Hallar la longitud del arco de curva y = ln(cos x) comprendido entre los valores    x = 0    y    x = π/2

4)     Hallar la longitud del arco de curva de la función

comprendido entre los valores    x = - 1    y    x = + 1

5)     Hallar la longitud del arco de curva de la función

24xy - x4 - 48 = 0

comprendido entre los valores    x = 2    y    x = 4.

 

 

Conclusion

CONCLUSIÓN 

con la informacion dada y los ejercicios mostrados queremos enseñarles y ayudarlos a comprender mas  de que trata la longitud de arco

Credits

CREDITOS 

Jenny alejandra quiroga numpaque thiffanny briseth muñoz marin