Ecuaciones de segundo grado completas

Introduction

Las ecuaciones de segundo grado completo son de la forma

                                                a {x ^ 2} + bx + c = 0

Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica, en la cual el grado mayor de los monomios es 2. En este caso, la parte literal es  .{x ^ 2} 

La ecuación de grado 2, tiene máximo dos soluciones.

Si los  coeficientes ,  a , b  y  c  son diferentes de cero, la ecuación se denomina Completa.

                                               coeficientes de completa

Las  soluciones  (o  raíces ) de la ecuación de segundo grado vienen en la  fórmula cuadrática:

                                        x = \ frac {{- b \ pm \ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}}                  

 

 

Task

Ejemplo:

La solución de la ecuación es:2 {x ^ 2} + 5x + 2 = 0

a = 2

b = 5

c = 2

x = \ frac {{- 5 \ pm \ sqrt {{5 ^ 2} - 4 (2) (2)}}} {{2 (2)}} = \ frac {{- 5 \ pm \ sqrt {25 - 16}}} {4}

x = \ frac {{- 5 \ pm 3}} {4}

{x_1} = \ frac {{- 5 + 3}} {4} = \ frac {1} {2}

{x_2} = \ frac {{- 5 - 3}} {4} = - 2

Process

Demostración de la fórmula:

x = \ frac {{- b \ pm \ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}}

Partimos de la expresión general a {x ^ 2} + bx + c = 0

Decimos que A y B son las soluciones de la ecuación, por lo tanto:

a {x ^ 2} + bx + c = a (x - A) (x - B)

Ahora vamos a ver la igualdad

= a \ left ({x - \ frac {{- b - \ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}}} \ right) \ left ({x - \ frac {{- b + \ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}}} \ right)

a \ left ({x + \ frac {b} {{2a}} + \ frac {{\ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}}} \ right) \ left ({x + \ frac {b} {{2a}} - \ frac {{\ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}}} \ right)

En el primer factor tenemos una suma y en el segundo una diferencia:

Comparemos la expresión anterior con.(r + s) (r - s) = {r ^ 2} - {s ^ 2}

r = x + \ frac {b} {{2a}}

s = \ frac {{\ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}}

Remplazando en la expresión

  = a \ left ({{{\ \ left ({x + \ frac {b} {{2a}}} \ right)} ^ 2} - {{\ left ({\ frac {{\ sqrt {{b ^ 2} - 4ac}}} {{2a}}} \ right)} ^ 2}} \ right)

Desarrollando los cuadrados

  = a \ left ({{x ^ 2} + 2x \ frac {b} {{2a}} + \ frac {{{b ^ 2}}} {{4 {a ^ 2}}}} \ right) - a \ left ({\ frac {{{b ^ 2} - 4ac}} {{4 {a ^ 2}}}} derecha

Operando nos queda

  = a {x ^ 2} + bx + \ frac {{{b ^ 2}}} {{4a}} - \ frac {{{b ^ 2} - 4ac}} {{4a}}

= a {x ^ 2} + bx + \ frac {{{b ^ 2} - {b ^ 2} + 4ac}} {{4a}} = a {x ^ 2} + bx + \ frac {{4ac} } {{4a}}

= a {x ^ 2} + bx + c